[Aljabar Linier] Determinan dan Eigen value dan eigen vektor

Sub Bahasan

Determinan
 -> Reduksi baris
 -> Perluasan kofaktor
Eigen value dan eigen vektor

Reduksi baris

Metode ini penting untuk menghindari perhitungan panjang yang terlibat dalam penerapan definisi determinan secara langsung.

Eigen value & Eigen vektor

Jika A adalah matrik n x n, maka vektor tak nol x  di dalam Rn dinamakan vektor eigen dari A jika Ax  adalah kelipatan skalar dari x, yaitu,
        Ax = x
Untuk suatu skalar . 
Skalar  disebut nilai eigen dari A dan
x dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan .


Untuk file lengkapnya silahkan Download disini

Read more »

[Aljabar Linier] Koantor dan Determinan

Koantor

Didasarkan pada teori transformasi terhadap baris dan kolom
Bila A suatu matrik kuadrat dg ordo n
In adalah suatu matrik identitas dengan ordo n
M=AiIn
Dimana, M disebut matrik Augment

Determinan
Misalkan A adalah matriks bujur sangkar. Fungsi determinan dinyatakan oleh det(A), dan didefinisikan sebagai jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari A.
Jumlah det(A) disebut sebagai determinan A.
Det(A) sering pula dinotasikan dengan |A|

Sifat – sifat determinan
det(A) = det(AT)
Tanda determinan berubah jika 2 baris atau kolom ditukar tempatnya.
Harga determinan menjadi  kali, bila suatu baris / kolom dikalikan dengan skalar 

Untuk file lengkapnya silahkan Download disini

Read more »

[Aljabar Linier] Transpos matrik

Transpos matrik

Transpose AT dari matrik m x n   A = [ aik ] adalah matrik n x m yang diperoleh dari pertukaran baris dan kolom [AT] ik  = [aik]

Sifat – sifat Transpose Matriks

( AT )T  = A
( A + B )T = AT + BT
( A – B )T = AT -  BT
( AB )T = BT AT

Trase matrik

Misalkan A = [aij]
Trase matrik A yang dinyatakan oleh trase(A), didefinisikan sebagai penjumlahan semua entri diagonal utama A
Syarat: matrik bujursangkar
Aturan: trase(A)=a11 + a22 + …+ ann


Untuk file lengkapnya silahkan Download disini

Read more »

[Aljabar Linier] Pengertian Matriks

Pengertian Matriks

Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom.
Matriks adalah jajaran elemen (berupa bilangan) berbentuk empat persegi panjang.
Matriks adalah himpumam suatu bilangan yang disusun dalam bentuk persegi panjang yang memuat baris-baris dan kolom-kolom.
Bilangan tersebut disebut entri / elemen

Jenis Matriks
MATRIKS NOL, adalah matriks yang semua elemennya nol
Sifat-sifat :
A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0
A*0=0, begitu juga 0*A=0.
MATRIKS BUJURSANGKAR, adalah matriks yang jumlah baris dan jumlah kolomnya sama. Barisan elemen a11, a22, a33, ….ann disebut diagonal utama dari matriks bujursangkar A tersebut.
Contoh : Matriks berukuran 2x2


Untuk file lengkapnya silahkan Download disini

Read more »

[Aljabar Linier] Pengertian Metode Gauss-Jordan

Pengertian Metode Gauss-Jordan

Metode Gauss-Jordan merupakan suatu variasi dari Eliminasi Gauss dan dalam bahasa analitik biasanya lebih dikenal dengan nama reduksi baris. Perbedaan utamanya dengan eliminasi Gauss adalah bila sebuah yang tidak diketahui dieliminasikan dengan metode Gauss-Jordan maka ia deliminasikan dari setiap persamaan lainnya. Ini merupakan bentuk matrik kesatuan,padahal eliminasi Gauss merupakan matrik triangular.

DASAR TEORI

Teknik yang digunakan dalam metode eliminasi Gauss-Jordan ini sama seperti metode eliminasi Gauss yaitu menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer). Hanya perhitungan penyelesaian secara langsung diperoleh dari nilai pada kolom terakhir dari setiap baris .

Untuk file lengkapnya silahkan Download disini

Read more »

[Aljabar Linier] Bentuk Metode Gauss

Bentuk Metode Gauss

Pada metode ini yang perlu dilakukan adalah melakukan operasi pada koefisien yang ada dalam persamaan, dan hasil akhirnya adalah sistem persamaan ekivalen yang selanjutnya dapat dengan mudah diselesaikan dengan metode substitusi


Untuk file lengkapnya silahkan Download disini

Read more »

[Aljabar Linier] Pengantar Sistem Persamaan Linear

Pengantar Sistem Persamaan Linear

Persamaan Linear
Sebuah garis dalam bidang xy dapat disajikan secara aljabar dalam bentuk : a1 x + a2 y = b
Secara umum suatu persamaan linear dalam n peubah adalah :
        a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + ……. + an xn
    dengan a1,a2,a3,….,an dan b konstanta real.
Contoh:
    x + 3y = 7            x1-2x2-3x3+x4=7
    x1 + x2 + …. + xn = 1

Penyelesaian persamaan Linear
Dapat diselesaikan dengan menggunakan model permisalan
Contoh :
    4x-2y=1
    dapat diselesaikan dengan menetapkan sembarang nilai x dan diperoleh nilai y,
    misal : x = 2 ; y = 7/2

    x1 – 4 x2 + 7 x3 = 5
    dapat diselesaikan dengan menetapkan nilai sembarang untuk 2 peubah terserah, sehingga diperoleh nilai peubah yang lain
    misal : x1 = 2    ; x2 = 1    ; x3 = 1


Untuk file lengkapnya silahkan Download disini

Read more »

[Aljabar Linier] Pengantar Sistem Persamaan Linear

Pengantar Sistem Persamaan Linear

Persamaan Linear
Sebuah garis dalam bidang xy dapat disajikan secara aljabar dalam bentuk : a1 x + a2 y = b
Secara umum suatu persamaan linear dalam n peubah adalah :
        a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + ……. + an xn
    dengan a1,a2,a3,….,an dan b konstanta real.
Contoh:
    x + 3y = 7            x1-2x2-3x3+x4=7
    x1 + x2 + …. + xn = 1

Penyelesaian persamaan Linear
Dapat diselesaikan dengan menggunakan model permisalan
Contoh :
    4x-2y=1
    dapat diselesaikan dengan menetapkan sembarang nilai x dan diperoleh nilai y,
    misal : x = 2 ; y = 7/2

    x1 – 4 x2 + 7 x3 = 5
    dapat diselesaikan dengan menetapkan nilai sembarang untuk 2 peubah terserah, sehingga diperoleh nilai peubah yang lain
    misal : x1 = 2    ; x2 = 1    ; x3 = 1


Untuk file lengkapnya silahkan Download disini

Read more »

[Aljabar Linier] Perkalian Cross (CROSS PRODUCT)

Perkalian Cross (CROSS PRODUCT)

Pengertian : ……

Cross product dari 2 buah vektor adalah suatu vektor baru yang besarnya sama dengan luas jajaran genjang yang diapit oleh kedua vektor tersebut, arahnya tegak lurus bidang yang dibentuk oleh kedua vektor

Hasil kali titik dua buah vektor menghasilkan skalar, sedangkan hasilkali silang atau cross product antara dua buah vektor menghasilkan sebuah vektor yang tegaklurus pada kedua vektor tersebut. Perkalian silang antara dua buah vektor hanya berlaku untuk vektor-vektor di ruang.

Untuk file lengkapnya silahkan Download disini

Read more »

[Aljabar Linier] Perkalian Vektor dengan Skalar

Perkalian Vektor dengan Skalar

Definisi
n    Untuk sembarang vektor a  dengan α, maka:
    - panjang αa = | α |.|a|
    - jika a ≠ 0 dan α > 0 , αa searah dengan a
    - jika a ≠ 0 dan α < 0 , αa berlawanan arah dengan a
    - jika a = 0 dan α = 0 , maka αa = 0
n    Untuk vektor a  dalam koordinat kartesian
    jika a = [a1,a2,a3] maka
αa = [αa1, αa2, αa3]

Untuk file lengkapnya silahkan download disini

Read more »

[Aljabar Linier] penjumlahan dan pengurangan vector

Definisi vector
Apa beda vektor dengan skalar?
*    Skalar :
    besaran yang dinyatakan dengan bilangan tunggal dan hanya memiliki nilai
    ex: panjang meja=20cm , luas, volume dsb
*    Vektor:
besaran yang dinyatakan dalam dua bilangan tunggal, yang pertama menyatakan nilai dan yang kedua menyatakan arah
    ex: gaya=10N ke arah kanan, kecepatan=5 m/s arah barat

Piranti Vektor
*    Komponen vektor:
    vektor 2 dimensi : a (3,2)
        3 ‘n 2 merupakan komponen vektor
        a merupakan nama vektor
        3 merepresentasikan nilai pada sumbu x (horisontal)
        2 merepresentasikan nilai pada sumbu y (vertikal)
    vektor 3 dimensi : a (2,3,4)
*    Panjang vektor:
    suatu vektor memiliki panjang vektor yang disimbolkan dengan |a|

Metode penjumlahan ‘n pengurangan vector
1. Cara Segitiga
    Jumlahan 2 vektor a dan b adalah suatu vektor c yang berawal dari titik pangkal vektor a menuju ujung vektor b, setelah ujung vektor a ditempelkan dengan pangkal vektor b

Untuk file lengkapnya silahkan download disini

Read more »